Sucesión Concepto de sucesión




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TítuloSucesión Concepto de sucesión
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Sucesión

Concepto de sucesión


Se llama sucesión a un conjunto de números dispuestos uno a continuación de otro.

a1, a2, a3 ,..., an

3, 6, 9,..., 3n

Los números a1, a2 , a3 , ...; se llaman términos de la sucesión.

El subíndice indica el lugar que el término ocupa en la sucesión.

El término general es an es un criterio que nos permite determinar cualquier término de la sucesión.

Determinación de una sucesión:

Por el término general


an= 2n-1

a1= 2 ·1 - 1 = 1

a2= 2 ·2 - 1 = 3

a3= 2 ·3 - 1 = 5

a4= 2 ·4 - 1 = 7

1, 3, 5, 7,..., 2n-1

No todas las sucesiones tienen término general. Por ejemplo, la sucesión de los números primos:

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23,...

Por una ley de recurrencia


Los términos se obtienen operando con los anteriores.

Escribir una sucesión cuyo primer término es 2, sabiendo que cada término es el cuadrado del anterior.

2, 4, 16, ...

Sucesión de Fibonacci


1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, ...

Los dos primeros términos son unos y los demás se obtienen sumando los dos términos anteriores.



Operaciones con sucesiones


Dadas las sucesiones an y bn:

an= a1, a2, a3, ..., an

bn= b1, b2, b3, ..., bn

Suma de sucesiones


(an) + (bn) = (an + bn)

(an) + (bn) = (a1 + b1, a2 + b2, a3 + b3, ..., an + bn)

Propiedades


1 Asociativa:

(an + bn) + cn = an + (bn + c n)

2 Conmutativa:

an + bn = bn + a n

3 Elemento neutro

(0) = (0, 0, 0, ...)

an + 0 = an

4 Sucesión opuesta

(-an) = (-a1, -a2, -a3, ..., -an)

an + (-an) = 0

Diferencia de sucesiones


(an) - (bn) = (an - bn)

(an) - (bn) = (a1 - b1, a2 - b2, a3 - b3, ..., an - bn)

Producto de sucesiones


(an) · (bn) = (an · bn)

(an) · (bn) = (a1 · b1, a2 · b2, a3 · b3, ..., an · bn)

Propiedades


1 Asociativa:

(an · bn) · c n = an · (bn · c n)

2 Conmutativa:

an · bn = bn · a n

3 Elemento neutro

(1) = (1, 1, 1, ..)

an · 1 = an

4 Distributiva respecto a la suma

an · (bn + c n) = an · bn + an · c n

Sucesión inversible


Una sucesión es inversible o invertible si todos sus términos son distintos de cero. Si la sucesión bn es inversible, su inversa es:


Cociente de sucesiones


Sólo es posible el cociente entre dos sucesiones si el denominador es inversible.




Sucesiones y progresiones. Ejercicios resueltos

1

Hallar el término general de las siguientes sucesiones:



El numerador es constante.

El denominador es una progresión aritmética de d= 1.





El numerador es una progresión aritmética con una d= 1.

El denominador es una progresión aritmética con una d = 1.





En esta sucesión se han simplificado algunas fracciones.



El numerador es una progresión aritmética con una d= 1.

El denominador es una progresión aritmética de d= 1.





Si prescindimos del signo es una progresión aritmética con una d= 1.

Por ser los términos impares los negativos multiplicamos por (-1)n.







Si prescindimos del signo, el numerador es una progresión aritmética con una d= 1.

El denominador es una progresión aritmética de d= 1.

Por ser los términos pares los negativos multiplicamos por (-1)n+1.





Es una sucesión oscilante.

Los términos impares forman progresión aritmética con una d= 1, si no tenemos en cuenta los términos pares.

El denominador de los términos pares forman progresión aritmética con una d= 1.



7



Si prescindimos del signo y del exponente tenemos una progresión aritmética con una d= 1.

Por estar los términos al cuadrado, tenemos que elevar el término general al cuadrado.

Por ser los términos impares los negativos multiplicamos por (-1)n.



8



Es una sucesión oscilante.

El numerador de los términos impares forman progresión aritmética con una d= 1, si no tenemos en cuenta los términos pares.

Por estar los términos al cuadrado, tenemos que elevar el término general al cuadrado.

El primer sumando del denominador (prescindiendo del cuadrado) es una progresión aritmética de d= 1 (sin contar los términos pares).

El término general lo tenemos que elevar al cuadrado y sumarle 3.

Los términos pares forman una sucesión constante.


Sucesiones y progresiones. Ejercicios resueltos

2


Estudia la monotonia, la convergencia o divergencia y las cotas (si existen) de las siguientes sucesiones:

1 

Monotonía


3, 4/3, 1, 6/7,...

Es monotona estrictamente decreciente.

Límite


a1= 3

a3= 1

a1000= 0.5012506253127

a1000 000 = 0.5000012500006

El límite es 0.5

Sucesión convergente

Cotas


Por ser decreciente, 3 es una cota superior, el máximo.

0.5 es una cota inferior, el ínfimo o extremo inferior.

Por tanto la sucesión está acotada.

0.5 < a n ≤ 3

2

2, − 4, 8, − 16, ...

No es monótona.

No es convergente ni divergente.

No está acotada.

3

No es monótona.

Es convergente porque el límite = 0.

Está acotada superiormente, 1 es el máximo.

Está acotada inferiormente, -1 es el mínimo.

Está acotada.

−1 ≤a n ≤ 1


Sucesiones y progresiones. Ejercicios resueltos

3


El primer término de una progresión aritmética es -1, y el décimoquinto es 27. Hallar la diferencia y la suma de los quince primeros términos.

a 1 = − 1;          a 15 = 27;      

a n = a 1 + (n - 1) · d

27= -1 + (15-1) d;       28 = 14d;         d = 2

S= (-1 + 27) 15/2 = 195

Sucesiones y progresiones. Ejercicios resueltos

4


El cuarto término de una progresión aritmética es 10, y el sexto es 16. Escribir la progesión.

a 4 = 10;          a 6 = 16

 a n = a k + (n - k) · d

16 = 10 + (6 - 4) d;        d= 3

a1= a4 - 3d;

a1 = 10 - 9 = 1

1, 4, 7, 10, 13, ..

Sucesiones y progresiones. Ejercicios resueltos

5


Escribir tres medios artméticos entre 3 y 23.

a= 3,      b= 23;       

 

d= (23-3)/(3+1) = 5;

3,   8, 13, 18,   23

Sucesiones y progresiones. Ejercicios resueltos

6


Hallar la suma de los quince primeros múltiplos de 5.

a1= 5;      d= 5;        n = 15.

a n = a 1 + (n - 1) · d          

  

a15 = 5 + 14 · 5 = 75

S15 = (5 + 75)· 15/2 = 600.

Sucesiones y progresiones. Ejercicios resueltos

7


Hallar la suma de los quince primeros números acabados en 5.

a1= 5;        d= 10 ;          n= 15.

a15= 5+ 14 ·10= 145

S15 = (5 + 145)· 15/2 = 1125

Hallar el término general de las siguientes sucesiones:

1

Si prescindimos del signo, el numerador es una P. aritmética con una d= 2.

El denominador es una progresión aritmética de d= 1.

Por ser los términos impares los negativos multiplicamos por (-1)n.



2

El numerador es una progresión aritmética con una d= 2.

El denominador es una progresión geométrica con una r= 2.



3

Si prescindimos del signo, el numerador es una P. aritmética con una d= 1.

El denominador es una progresión geométrica con una r= 3.

Por ser los términos pares los negativos multiplicamos por (-1)n+1.


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