Límite de una sucesión




Descargar 48.94 Kb.
TítuloLímite de una sucesión
Fecha de conversión31.01.2013
Tamaño48.94 Kb.
TipoDocuments
Límite de una sucesión

De Wikipedia, la enciclopedia libre







http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/0/0d/sucesi%c3%b3n_001.svg/250px-sucesi%c3%b3n_001.svg.png

http://bits.wikimedia.org/skins-1.5/common/images/magnify-clip.png

 a_{n} = \begin{cases} 16 & \mbox{si } n = 0 \\ \cfrac{a_{n-1}}{2} & \mbox{si } n> 0 \end{cases}

El límite de una sucesión es uno de los conceptos más antiguos del análisis matemático. El mismo da una definición rigurosa a la idea de una sucesión que se va aproximando hacia un punto llamado límite. Si una sucesión tiene límite, se dice que es una sucesión convergente, y que la sucesión converge o tiende al límite. En caso contrario, la sucesión es divergente.

La definición significa que eventualmente todos los elementos de la sucesión se aproximan tanto como queramos al valor límite. La condición que impone que los elementos se encuentren arbitrariamente cercanos a los elementos subsiguientes no implica, en general, que la sucesión tenga un límite (Véase sucesión de Cauchy).

Qué se entiende por próximo da lugar a distintas definiciones de límite dependiendo del conjunto donde se ha definido la sucesión.





Límite de una sucesión de números reales

Definición formal

Una sucesión  \{\,x_n \}tal que \, n\geq 1tiene límite \,l, cuando \,ntiende a \infty, si para todo valor \,\varepsilonpor pequeño que sea, hay un valor \,n_0a partir del cual si \,n>n_0tenemos que la distancia de \,la \,x_nes menor que \,\varepsilon, es decir:

\forall \varepsilon> 0, \exists n_0>0 : \forall n>n_0, d(x_n,l)<\varepsilon.

Notación

\lim_{n\to\infty} x_n=l

o bien

 x_n \xrightarrow[{\;\; n \to \infty\;\; }]{}l

Ejemplos

  • La sucesión 1/1, 1/2, 1/3, 1/4, ... converge al límite 0.

  • La sucesión 1, -1, 1, -1, 1, ... es oscilante.

  • La sucesión 1/2, 1/2 + 1/4, 1/2 + 1/4 + 1/8, 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16, ... converge al límite 1.

  • Si a es un número real con valor absoluto |a| < 1, entonces la sucesión an posee limite 0. Si 0 < a ≤ 1, entonces la sucesión a1/n posee límite 1.

  • \lim_{n\to\infty} \frac{1}{n^p} = 0 \hbox{ si } p> 0

  • \lim_{n\to\infty} n^{\frac{1}{n}} = 1

  • \lim_{n\to\infty} a^{\frac{1}{n}} = 1 \hbox{ si } a>0

Propiedades

  • Si una sucesión \,\{a_n\}tiene límite positivo, existe un término a partir del cual todos los términos de la sucesión son positivos.

  • Si una sucesión \,\{a_n\}tiene límite negativo, existe un término a partir del cual los términos de la sucesión son negativos.

  • Si una sucesión \,\{a_n\}converge a cero, no se puede asegurar nada acerca del signo de cada uno de los términos de la sucesión.

  • Si una sucesion \,\{a_n\}tiende a menos infinito y \,\{a_n\} < 0 entonces \frac{1}{a_n}tiende a 0.

Límite en un espacio métrico

Para una sucesión de puntos \{x_n|n\in \mathbb{n}\}\;en un espacio métrico \,mcon función de distancia d\,

(como por ejemplo, una sucesión de números racionales, números reales, números complejos, puntos en un espacio normado, etc.):

Si l \in m\;se dice que \,les el límite de la sucesión y se escribe

 l = \lim_{n \to \infty} x_n \longleftrightarrow \forall \epsilon>0\;, \exist N \in \mathbb{N}: n>N \rightarrow d(x_n,L)<\epsilon.\;

i.e.:si y solo si para todo (hodap) número real \epsilon>0\;, existe un número natural \,ntal que para cada n>N\,, se satisface que d(x_n,l)<\epsilon.\;

Límite en un espacio topológico

Una generalización de esta relación, para una sucesión de puntos \{x_n|n\in \mathbb{n}\}\;en un espacio topológico T:

Si l\in t\;se dice que L es un límite de esta sucesión y se escribe

 l = \lim_{n \to \infty} x_n

si y solo si para todo entorno S de L existe un número natural N tal que x_n\in s\;para todo n>N.\;

De forma intuitiva, suponiendo que se tiene una sucesión de puntos (por ejemplo un conjunto infinito de puntos numerados utilizando los números naturales) en algún tipo de objeto matemático (por ejemplo los números reales o un espacio vectorial) que admite el concepto de entorno (en el sentido de "todos los puntos dentro de una cierta distancia de un dado punto fijo"). Un punto L es el límite de la sucesión si para todo entorno que se defina, todos los puntos de la sucesión (con la posible excepción de un número finito de puntos) están próximos a L. Esto puede ser interpretado como si hubiera un conjunto de esferas de tamaños decrecientes hasta cero, todas centradas en L, y para cualquiera de estas esferas, solo existiera un número finito de números fuera de ella.

Es posible también que una sucesión en un espacio topológico general, pueda tener varios límites diferentes, pero una sucesión convergente posee un único límite si T es un espacio de Hausdorff, por ejemplo la recta real (extendida), el plano complejo, sus subconjuntos (R, Q, Z...) y productos cartesianos (Rn...).

El límite de una sucesión es el número al cual se van aproximando los términos de una sucesión.

cálculo del término general de una sucesión

a1= 1

a2= 0.5

a1000= 0.001

a1000 000 = 0.000001

El límite es 0.

cálculo del término general de una sucesión

a1= 0.5

a2= 0.6666....

a1000= 0.999000999001

a1000 000 = 0.999999000001

El límite es 1.

sucesión

a1= 5

a2= 7

a1000= 2 003

a1000 000 = 2 000 003

Ningún número sería el límite de esta sucesión, el límite es ∞.


Límite finito de una sucesión


Una sucesión an tiene por límite L si y sólo si para cualquiera número positivo ε que tomemos, existe un término ak, a partir del cual todos los términos de an, siguientes a ak cumplen que |an−L| < ε.

definición de límite

La sucesión an = 1/n tiene por límite 0.

definición de límite

Se puede determinar a partir de que término de la sucesión, su distancia a 0 es menor que un número positivo (ε), por pequeño que éste sea.

comprobación del límite

Como k>10 a partir del a11 se cumplirá que su distancia a 0 es menor que 0.1.

comprobación del límite

Vamos a determinar a partir de que término la distancia a 0 es menor que 0.001.

comprobación del límite

comprobación del límite

A partir del a1001 se cumplirá que su distancia a 0 es menor que 0.001.


También podemos definir el límite de una sucesión mediante entornos:

Una sucesión an tiene por límite L si y sólo si para cualquier entorno de L que tomemos, por pequeño que sea su radio ε, existe un término de la sucesión, a partir del cual, los siguientes términos pertenecen a dicho entorno.

definición por entorno


Límite infinito de una sucesión


Una sucesión an tiene por límite +∞ cuando para toda M>0 existe un término ak, a partir del cual todos los términos de an, siguientes a ak cumplen que an> M.

llímite en el infinito


El límite de la sucesión an= n2 es +∞.

1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, ...

infinito

Si M es igual a 10 000, su raíz cuadrada es 100, por tanto a partir de a101 superará a 10 000.

a101= 1012 = 10 201


Una sucesión an tiene por límite −∞ cuando para toda N >0 existe un término ak, a partir del cual todos los términos de an, siguientes a ak cumplen que an < −N.

llímite en el infinito


Vamos a comprobar que el límite de la sucesión an= −n2 es −∞.

−1, −4, −9, −16, −25, −36, −49, ...

límite en el infinito

Si N = 10 000, su raíz cuadrada es 100, por tanto a partir de a101 superará a −10 000.

a101= −1012 = −10 201

Añadir documento a tu blog o sitio web

Similar:

Límite de una sucesión iconCP42-Imp10-04 deadline/ date limite/ fecha limite: 15 October

Límite de una sucesión iconSucesión Concepto de sucesión

Límite de una sucesión iconSucesión aritmética Definición: Una sucesión aritmética

Límite de una sucesión iconQuerido@s Servas, este proyecto se focaliza en l@s jóvenes, en la temática "joven", y no hay límite de edad para participar. No hay límite de edad para ser joven!!!

Límite de una sucesión iconLa sucesión de fibonacci

Límite de una sucesión icon¿Qué es una sucesión?

Límite de una sucesión iconVoces: sucesion ~ herencia vacante título

Límite de una sucesión iconDerivada del juicio de amparo indirecto 94/1998. quejosa: sucesión a bienes de ángel veraza villanueva

Límite de una sucesión iconLimites y continuidad concepto intuitivo de limite

Límite de una sucesión iconFecha limite de entrega viernes 12 de octubre 2012

Coloca este botón en su sitio:
es.convdocs.org


La base de datos está protegida por derechos de autor ©es.convdocs.org 2012
enviar mensaje
es.convdocs.org
Página principal