Bonos y su valuacióN




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FORMA DE ENCONTRAR EL RENDIMIENTO AL VENCIMIENTO


Con frecuencia, conocemos el precio de un bono, la tasa de cupón y la fecha de vencimiento, pero no su rendimiento al vencimiento.


Pensemos que estamos interesados en un bono con cupón al 8% a seis años. Un broker ha cotizado el precio en 955.14 dólares ¿Cuál será el rendimiento sobre este bono?


El precio de un bono se puede establecer como la suma de su anualidad y los componentes de la suma acumulada. Al conocer que se cuenta con cupón de 80 dólares a 6 años y un valor nominal de 1000 dólares, se puede afirmar que su precio es como sigue:




6 6

955.14 = 80 x [1-1/(1+r) / r + 1,000/(1+r) donde,


r= tasa de descuento desconocida, o rendimiento al vencimiento.


En este caso tenemos una ecuación y una incógnita, pero no podemos encontrar el valor de “r” de manera explícita. La única forma encontrar las respuestas mediante el procedimiento de ensayo y error.


El bono tiene un cupón de 80 dólares y se está vendiendo con descuento. Así, sabemos que rendimiento es mayor que 8%, por lo tanto, si escogemos una tasa de por ejemplo 10% tenemos:

6 6

Valor del Bono = 80 x (1-1/1.10) / 0.10+1000/(1.10)

= 80 x 4.3553 + 1000/1.7716

= 912.89


Entonces, a una tasa de 10%, el valor que calculamos es más bajo que precio real y por lo tanto 10% demasiado alto. Entonces, el rendimiento verdadero debe estar entre 8% y 10%. Si usted escoge 9% se dará cuenta de que éste es el rendimiento del bono al vencimiento. (En las calculadoras financieras se puede encontrar el rendimiento al vencimiento de un bono. Se digita la cifra de 80 dólares del valor del cupón, si fuera un pago PMT; 6 como el número de periodos n; 955.14 (el precio actual), como el valor presente (VP), y 1000 dólares (el valor nominal), como valor futuro (VF). Si se trata de encontrar la tasa interés i, la respuesta deberá ser 9%).


Resumen de la valuación de los bonos:


    1. Forma de encontrar el valor de un bono.

t t

Valor del Bono = A x [1 – 1/ (1+r) ] / r + F/(1+r)

De donde:

A = Cupón pagado cada período

r = Tasa por período

t = Número de períodos

F = Valor nominal del Bono

    1. Forma de encontrar el rendimiento sobre un bono

Dado el valor de un bono, sus cupones, su plazo al vencimiento y su valor nominal, es posible encontrar la tasa de descuento implícita, o el rendimiento al vencimiento, mediante la aplicación del procedimiento de ensayo y error. Para poder hacer esto deben ser intentadas diferentes tasas de descuento hasta que el valor calculado del bono sea igual al valor dado, recordando que al aumentar la tasa disminuye el valor del bono.





Rendimiento de los Bonos


Suponga que usted está contemplando dos bonos idénticos en todos sus aspectos, excepto en los que se refiere a los cupones, y desde luego a sus precios. A los dos bonos les faltan doce años para su vencimiento.

El primer bono tiene una tasa cupón de 10% y se vende en 935.08; la tasa cupón del segundo bono es del 12%.

¿En cuanto considera usted que se vendería este bono?


Como los dos bonos son muy parecidos, serán valuados de tal modo que reditúen aproximadamente la misma tasa. Primero necesitamos calcular el rendimiento sobre el bono con cupón al 10%. Intuimos que rendimiento deberá ser mayor al 10% ya que el bono se está vendiendo con descuento. Dado que el bono tiene vencimiento muy prolongado, de 12 años, esto repercute en que tiene una mayor sensibilidad ante los cambios de las tasas de interés, por lo tanto, el rendimiento se encontrará probablemente cerca del 10%. Al aplicar el procedimiento de ensayo y error se observa que en realidad es del 11%.




12 12

Valor del Bono = 100 x (1-1/1.11) / 0.11+1000/(1.11)

= 100 x 6.4924 + 1000/3.4985

= 649.24 + 285.84

= 935.08


Con un rendimiento de los 11%, el segundo bono se vendería a una prima, debido su cupón de 120 dólares. Su valor sería entonces:




12 12

Valor del Bono = 120 x (1-1/1.11) / 0.11+1000/(1.11)

= 120 x 6.4924 + 1000/3.4985

= 779.08 + 285.84

= 1,064.92





Bonos con Cupón “0”


El bono con cupón “0” es aquel que no hace pagos de cupón y es consecuentemente, valuado con un gran descuento.


Un bono que no paga ningún tipo de cupón debe ser ofrecido a un precio más barato que su valor nominal. Tales bonos reciben el nombre de bonos cupón cero o simplemente “0”.


Suponga usted que Coca Cola emite bonos con cupón cero con valor nominal de 1,000 dólares a un plazo de cinco años. El precio inicial se fija en 497 dólares. Es sencillo verificar que este precio paga el 15% al vencimiento. Los intereses totales pagados a lo largo de la vida del bono son de 503 (1000 -497)


Si calculamos el valor del bono al inicio de cada año, por ejemplo, después de un año al bono le quedarían por diferencia cuatro años para su vencimiento, por lo tanto, valdrá:


4

Valor del Bono = 1000/(1.15) = 572, dentro dos años su valor será


3

Valor del Bono = 1000/(1.15) = 658 y así sucesivamente.


El interés implícito cada año es simplemente el cambio en el valor del bono para el año como podemos ver en el siguiente cuadro:





Algunos bonos se consideran bonos cupón cero, sólo durante una parte de su vida como por ejemplo General Motors que tienen circulación obligaciones a largo plazo no garantizadas es una combinación de una misión con cupón cero y otra emisión cupones normales. Estos bonos fueron emitidos el 15 de marzo de 1996 y no pagarán cupones hasta el 15 de diciembre del 2016, fecha en que empezarán a pagar cupones a una tasa de 7.75, pagaderos en forma semestral y así hasta su vencimiento en el 2036.


Bonos de Tasa Flotante


Lo que hemos visto es que los bonos convencionales tienen obligaciones fijas en dólares ya que la tasa cupón se establece como porcentaje fijo del valor a la par. Sin embargo de forma similar, el capital se establece como igual al valor a la par. Bajo estas circunstancias, los pagos del cupón y del capital son totalmente fijos.


En los bonos a tasa flotante, los pagos de cupones se ajustan de acuerdo con un índice de la tasa de interés.


La mayoría de los bonos a tasa flotante tienen las siguientes características:


    1. El tenedor tiene derecho a redimir su pagaré la par en la fecha de pago del cupón después de algún período especificado. A esto se le llama cláusula a la venta.

    2. La tasa cupón tiene un límite máximo y un límite mínimo, lo que quiere decir que cupón se encuentra sujeto a un rango. Por lo tanto la tasa cupón está topada o techada o también se le llama sombrero. La tasa superior e inferior algunas veces se les llama cuellos.

Un tipo de bonos sujeto a tasa flotante, es el que se conoce como bono indexado la inflación. Tales bonos tienen cupones que se ajustan de acuerdo a la tasa inflación siendo posible que el monto del capital también pueda ajustarse a dicha inflación.





Tasas Reales comparadas contra las Tasas Nominales


Caso práctico:

Supongamos que la tasa inflación es del 5%. Actualmente tiene usted una inversión que tendrán valor de 115.50 dólares dentro y un año. Su valor al día de hoy es de 100 dólares. Por lo tanto su valor presente es de 100 y valor futuro de 115 dentro y un año lo cual significa que tengo un rendimiento de 15.5%. Lo criticable es que no consideramos el efecto de la inflación y por lo tanto el valor calculado es tan solo el rendimiento nominal, no el real.


Suponga usted que un artículo de consumo cuesta cinco dólares al inicio del año, con 100 dólares podrá usted comprar 20 artículos. Si la tasa inflación del 5%, dicho artículo costará 5% adicional o sean 5.25 al final del año. Si hacemos una inversión ¿Cuántos artículos podré comprar al final del año? O bien ¿Cuál será la tasa de rendimiento sobre esta inversión?


Con 115.50 provenientes de la inversi|ón sólo serviría para comprar 22 artículos (115.50/5.25), lo cual es superior a 20 artículos y por lo tanto la tasa de rendimiento sería del 10%.


Lo anterior demuestra que aún cuando el rendimiento nominal sobre nuestra inversión es del 15.5% nuestro poder adquisitivo aumentará sólo en un 10%, debido a la inflación.

Podemos decir que con una inflación del 5% cada uno de los 115.50 nominales que obtenemos vale 5% menos en términos reales y por lo tanto el valor real de nuestra inversión en un año será de:




115.50/1.05=110


Lo que se hizo fue disminuir los 115. 50 en 5%





Efecto Fisher


Si R esta tasa nominal y r es la tasa real, el efecto Fisher nos dice que la relación entre las tasas nominales, las tasas reales y la inflación son como sigue:




1 + R = (1+r) x (1+h), donde h es la tasa inflación


Caso práctico:


Si la tasa nominal fue del 15.50% y la tasa de inflación del 5% ¿Cuál fue la tasa real?




1 + 0.1550 = (1+ r ) x (1+0.05)




1 + r = 1.550 / 1.05 = 1.10


r = 10%


También podemos establecer la fórmula como sigue:




1 + R = (1+r) x (1+h)





R = (r + h) + (r x h)


De los visto podemos deducir que la tasa nominal tiene tres componentes:

  1. La tasa real sobre inversión r

  2. la compensación por el decremento en el valor de dinero originalmente invertido debido a la inflación h

  3. la compensación por el hecho de que el dinero ganado sobre inversión también vale menos propiciado por la misma inflación. Este componente por lo general es reducido y frecuentemente se le elimina.

  4. Por lo tanto la tasa nominal es “aproximadamente” igual a la tasa real más la tasa de inflación:




R = r + h


Caso práctico:


Si usted necesita una tasa real de rendimiento del 10%, cuando la tasa de inflación del 8%, ¿cuál sería la tasa nominal aproximada? y ¿cuál sería la tasa nominal exacta?





1 + R = (1+r) x (1+h)




= 1.10 x 1.08





= 1.1880


Por consiguiente, la tasa nominal estará en realidad más cercana al 19%.


Las tasas financieras, y las tasas de interés, junto con las tasas de descuento y las tasas de rendimiento, siendo que casi siempre se cotizan en términos nominales.


En cualquier momento, las tasas de interés a corto y largo plazos serán distintas y la relación que existe entre las tasas de interés a corto y la plazos se conoce con el nombre de estructura a plazos de las tasas de interés, lo que nos indica cuáles son las tasas de interés nominales sobre los bonos de descuento puro, líderes de riesgo de incumplimiento, de todos los vencimientos. Estas tasas son, en esencia, tasa de interés puras porque no implican el riesgo de incumplimiento y si un solo pago futuro de una suma acumulada. En otras palabras, la estructura de los plazos de interés nos indica el valor de dinero del tiempo en forma pura para diferentes plazos.


Cuando las tasas a largo plazo son más altas que las tasas a corto plazo, podemos decir que el estructura plazos y una pendiente ascendente, y por contra, cuando las tasas a corto plazo son más altas, decimos que tienen una pendiente descendente. La estructura a plazos también puede ser encorvada y cuando esto ocurre se debe a que las tasas aumentan primero, pero después empiezan a bajar a medida que contemplamos tasas a plazos cada vez más largos. La forma más común de la estructura plazos está dada por una pendiente ascendente.


¿Que componentes determinan entonces la forma de la estructura a plazos?


Existen tres componentes básicos:



  1. La tasa real de interés, que la compensación que exigen los inversionistas por dejar de utilizar su dinero, o sea el valor de dinero a través del tiempo en forma pura después de ajustar los efectos del inflación. Los inversionistas exigen la compensación por la pérdida. Este compensación adicional recibe nombre de prima por inflación.

  2. La tasa inflación.

  3. El riesgo de la tasa interés. Los bonos a un plazo más lejano tienen mucho más riesgo de pérdida, debido a los cambios en las tasas de interés. Los inversionistas reconocen este riesgo y por eso exigen la prima de riesgo de la tasa interés entre más largos el plazo de vencimiento mayor será la prima de riesgo, sin embargo el riesgo de la tasa de interés aumentan a una tasa decreciente y consecuentemente sucederá lo mismo con la prima de riesgo de la tasa interés.


¿Cuál es el efecto Fisher?

¿Cuál es la diferencia entre un rendimiento nominal y valor real?

¿Cuál de dichos rendimientos es más importante para un inversionista común?


Evaluación de lo visto:


Caso práctico: Valor del Bono


Mis creencias una empresa tiene una tasa cupón del 10% y un valor nominal de 1000 dólares. El interés se paga semestralmente y aún le faltan al bono 20 años para su vencimiento. Si los inversionistas requieren un rendimiento del 12% ¿Cuál será el valor del bono? ¿Cuál será su rendimiento anual efectivo?


Solución:


Como el bono tiene una tasa cupón del 10% y los inversionistas requieren del 12% de rendimiento sabemos que deberá venderse con descuento. Sabemos que los intereses se pagan semestralmente. Por lo que los cupones ascienden a 100/2=$50 cada seis meses. El rendimiento requerido es del 12%/2=6% semestral. El bono vencerá dentro de 20 años la cualquier decir que son 40 periodos de seis meses.

El valor del bono es igual al valor presente 50 dólares semestrales a lo largo de los siguientes 40 periodos de seis meses, más el valor presente de valor nominal de 1000 dólares.


40 40

Valor del Bono = 50 x (1-1/1.06) / 0.06+1000/(1.06)

= 50 x 15.04630 + 1000/10.2857

= 849.54


Note usted que se descontaron los 1000 dólares durante 40 periodos al 6% por periodo, en lugar de haberlo hecho por 20 años del 12%. La razón es que el

2

rendimiento anual efectivo sobre el bono es del (1.06) – 1 = 12.36% y nunca del 12%. Podríamos haber utilizado 12.36% anual durante 20 años cuando calculamos el valor presente de los 1000 dólares de valor nominal y la respuesta habría sido la misma.


Caso práctico: Rendimiento de los Bonos


Cierto bono tiene un cupón del 8%, pagadero semestralmente. Su valor nominal de 1000 dólares y vencerá seis años. Si actualmente se vende en 911.37 dólares ¿Cuál será su rendimiento de vencimiento? y ¿Cuál será su rendimiento anual efectivo?


Solución:


El valor presente de los flujos efectivo del bono es su precio actual, es decir, 911.37 dólares; su cupón es de 40 [(1000x8%)/2=40] dólares semestrales durante 12 periodos; y su valor nominal es de 1000 dólares. Por lo tanto su rendimiento será la tasa descuento que se tiene con la siguiente ecuación:





12 12

911.37 = 40 x [1-1/(1+r) / r + 1,000/(1+r)


El bono se vende con descuento. Al ser la tasa de cupón del 8%, el rendimiento debe ser superior a esa cantidad.


Se utilizamos el procedimiento de “ensayo y error”, podríamos intentar 12% anual, equivalente a 6% semestral.





12 12

Valor del Bono = 40 x [1-1/(1.06) / 0.06 + 1,000/(1.06)

= 832.32


Podemos observar que es aquel que es inferior al valor real, lo que indica en esta tasa descuento es muy alta. Por lo tanto sabemos que el rendimiento se encuentra en algún punto entre el 8% y 12%. Con cálculos adicionales encontraremos que rendimiento resulta ser del 10% anual o su equivalente al 5% semestral.


De manera convencional el:


Rendimiento del bono al vencimiento se cotizaría al 10% (2x5%)

2

El rendimiento efectivo será por lo tanto (1.05) – 1 = 10.25%



Héctor Marín Ruiz
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