Formas de representar los números complejos




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TítuloFormas de representar los números complejos
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formas de representar los números complejos

1. Forma binómica.

Podemos considerar C como un espacio vectorial isomorfo a http://wmatem.eis.uva.es/~matpag/contenidos/complejos/imagenes/image8.gif, de este modo se tiene:

http://wmatem.eis.uva.es/~matpag/contenidos/complejos/imagenes/image9.gif

Gráficamente, podemos representar http://wmatem.eis.uva.es/~matpag/contenidos/complejos/imagenes/image8.gif(y por tanto C) como un plano.

http://wmatem.eis.uva.es/~matpag/contenidos/complejos/imagenes/binomica.gif

Para cada número complejo z, la primera componente, x, se denomina parte real y la segunda, y, se denomina parte imaginaria.

Obviamente, dos números complejos son iguales si y sólo si lo son simultáneamente sus partes reales y sus partes imaginarias.

Usando este tipo de representación, la suma de complejos se corresponde con la suma de vectores. Dados dos vectores http://wmatem.eis.uva.es/~matpag/contenidos/complejos/imagenes/image10.gif y http://wmatem.eis.uva.es/~matpag/contenidos/complejos/imagenes/image11.gif su suma es http://wmatem.eis.uva.es/~matpag/contenidos/complejos/imagenes/image12.gif

 

http://wmatem.eis.uva.es/~matpag/contenidos/complejos/imagenes/planosum.gif

 

Se define el módulo de un número complejo como el módulo del vector que lo representa, es decir, si http://wmatem.eis.uva.es/~matpag/contenidos/complejos/imagenes/image13.gif, entonces el módulo de http://wmatem.eis.uva.es/~matpag/contenidos/complejos/imagenes/image14.gif es http://wmatem.eis.uva.es/~matpag/contenidos/complejos/imagenes/image15.gif.

El conjugado de un número complejo se define como su simétrico respecto del eje real, es decir, si http://wmatem.eis.uva.es/~matpag/contenidos/complejos/imagenes/image13.gif, entonces el conjugado de http://wmatem.eis.uva.es/~matpag/contenidos/complejos/imagenes/image14.gif es http://wmatem.eis.uva.es/~matpag/contenidos/complejos/imagenes/image16.gif.

El opuesto de un número complejo es su simétrico respecto del origen.

 

http://wmatem.eis.uva.es/~matpag/contenidos/complejos/imagenes/conjuga.gif

Es fácil ver que se cumple, http://wmatem.eis.uva.es/~matpag/contenidos/complejos/imagenes/image39.gif, por tanto podemos expresar el inverso de un número http://wmatem.eis.uva.es/~matpag/contenidos/complejos/imagenes/image4.gifen la forma http://wmatem.eis.uva.es/~matpag/contenidos/complejos/imagenes/image40.gif.

En vez de usar coordenadas cartesianas para representar a los puntos del plano podemos usar coordenadas polares, lo que da lugar a la siguiente forma de representación de los números complejos.

 

2. Forma polar o módulo-argumento

Otra forma de expresar un número complejo es la forma polar o forma módulo-argumento,

http://wmatem.eis.uva.es/~matpag/contenidos/complejos/imagenes/image17.gif

donde http://wmatem.eis.uva.es/~matpag/contenidos/complejos/imagenes/image18.gifes el módulo de http://wmatem.eis.uva.es/~matpag/contenidos/complejos/imagenes/image14.gif, y donde  es un argumento de http://wmatem.eis.uva.es/~matpag/contenidos/complejos/imagenes/image14.gif, esto es,  es un ángulo tal que

http://wmatem.eis.uva.es/~matpag/contenidos/complejos/imagenes/image20.gifhttp://wmatem.eis.uva.es/~matpag/contenidos/complejos/imagenes/image21.gif.

 

http://wmatem.eis.uva.es/~matpag/contenidos/complejos/imagenes/polares.gif

NOTA: Un número complejo tiene infinitos argumentos distintos. De hecho se puede definir el argumento de un número complejo no nulo como el conjunto de todos los posibles valores  que verifican lo anterior, es decir,

http://wmatem.eis.uva.es/~matpag/contenidos/complejos/imagenes/image22.gif

Es claro, por tanto, que si http://wmatem.eis.uva.es/~matpag/contenidos/complejos/imagenes/image23.gif es un valor particular del argumento de http://wmatem.eis.uva.es/~matpag/contenidos/complejos/imagenes/image14.gif, entonces

http://wmatem.eis.uva.es/~matpag/contenidos/complejos/imagenes/image24.gif

Se denomina argumento principal al único valor http://wmatem.eis.uva.es/~matpag/contenidos/complejos/imagenes/image25.gif tal que http://wmatem.eis.uva.es/~matpag/contenidos/complejos/imagenes/image26.gif, y se denota http://wmatem.eis.uva.es/~matpag/contenidos/complejos/imagenes/image27.gif

Se verifica entonces que

http://wmatem.eis.uva.es/~matpag/contenidos/complejos/imagenes/image28.gif.

Dos números complejos http://wmatem.eis.uva.es/~matpag/contenidos/complejos/imagenes/image29.gifhttp://wmatem.eis.uva.es/~matpag/contenidos/complejos/imagenes/image30.gif, representados en forma polar son iguales si y sólo si sus módulos son iguales http://wmatem.eis.uva.es/~matpag/contenidos/complejos/imagenes/image57.gif, y sus argumentos se diferencian en un número entero de vueltas, es decir, http://wmatem.eis.uva.es/~matpag/contenidos/complejos/imagenes/image55.gif, con http://wmatem.eis.uva.es/~matpag/contenidos/complejos/imagenes/image56.gif.

La forma polar de un número complejo es especialmente cómoda a la hora de multiplicar, ya que basta con multiplicar los módulos y sumar los argumentos, es decir, si http://wmatem.eis.uva.es/~matpag/contenidos/complejos/imagenes/image29.gif, y http://wmatem.eis.uva.es/~matpag/contenidos/complejos/imagenes/image30.gif, entonces

http://wmatem.eis.uva.es/~matpag/contenidos/complejos/imagenes/image31.gif

 

http://wmatem.eis.uva.es/~matpag/contenidos/complejos/imagenes/prodpolar.gif

Del mismo modo se puede calcular el cociente de un complejo por otro no nulo sin más que dividir los módulos y restar los argumentos:

http://wmatem.eis.uva.es/~matpag/contenidos/complejos/imagenes/image32.gif,

siempre que http://wmatem.eis.uva.es/~matpag/contenidos/complejos/imagenes/image33.gif.

Las fórmulas anteriores pueden generalizarse para el producto de varios complejos, así, si http://wmatem.eis.uva.es/~matpag/contenidos/complejos/imagenes/image34.gif, para http://wmatem.eis.uva.es/~matpag/contenidos/complejos/imagenes/image35.gif, entonces

http://wmatem.eis.uva.es/~matpag/contenidos/complejos/imagenes/image36.gif

Finalmente, en el caso en que todos los factores sean iguales se obtiene la fórmula de Moivre:

http://wmatem.eis.uva.es/~matpag/contenidos/complejos/imagenes/image37.gif

Esta fórmula es también válida para exponentes enteros negativos, siempre que http://wmatem.eis.uva.es/~matpag/contenidos/complejos/imagenes/image4.gif.

En particular tenemos otra expresión para el inverso de un número no nulo, http://wmatem.eis.uva.es/~matpag/contenidos/complejos/imagenes/image44.gif

(Aquí puedes ver una aplicación de la fórmula de Moivre)

Cambio de forma binómica a polar y viceversa:

Cambio de binómica a polar

Cambio de polar a binómica

http://wmatem.eis.uva.es/~matpag/contenidos/complejos/imagenes/image15.gif

http://wmatem.eis.uva.es/~matpag/contenidos/complejos/imagenes/image61.gif

 

http://wmatem.eis.uva.es/~matpag/contenidos/complejos/imagenes/image62.gif

http://wmatem.eis.uva.es/~matpag/contenidos/complejos/imagenes/image63.gif

3. Forma exponencial

Una variante de la forma polar se obtiene al tener en cuenta la conocida como fórmula de Euler:

http://wmatem.eis.uva.es/~matpag/contenidos/complejos/imagenes/image41.gif

para http://wmatem.eis.uva.es/~matpag/contenidos/complejos/imagenes/image42.gif.

Esto nos permite escribir un número complejo en la forma siguiente, denominada forma exponencial:

http://wmatem.eis.uva.es/~matpag/contenidos/complejos/imagenes/image43.gif

Esta nueva forma es especialmente cómoda para expresar productos y cocientes ya que sólo hay que tener en cuenta las propiedades de la función exponencial (para multiplicar se suman exponentes y para dividir se restan). En particular, para potencias con exponentes enteros se tiene http://wmatem.eis.uva.es/~matpag/contenidos/complejos/imagenes/image49.gif.

Esto nos permite dar una nueva expresión para el inverso de un complejo no nulo en la forma http://wmatem.eis.uva.es/~matpag/contenidos/complejos/imagenes/image44.gif

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