2. 4 Probabilidad condicional: Dependiente, Independiente




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2.4 Probabilidad condicional: Dependiente, Independiente.

Sea Ω un espacio muestral en donde se ha definido un evento E, donde p(E)>0, si deseamos determinar la probabilidad de que ocurra un evento A (el que también es definido en el mismo espacio muestral), dado que E ya ocurrió, entonces deseamos determinar una probabilidad de tipo condicional, la que se determina como se muestra;




Ejemplos:


1. Se lanza al aire dos dados normales, si la suma de los números que aparecen es de por lo menos siete, a. determine la probabilidad de que en el segundo dado aparezca el número cuatro, b. Determine la probabilidad de que ambos números sean pares, c. Determine la probabilidad de que en el primer dado aparezca el numero dos.

Solución:

El espacio muestral es el mismo que cuando se lanza un dado dos veces y se muestra a continuación;

(1,1) (2,1) (3,1) (4,1) (5,1) (6,1)

(1,2) (2,2) (3,2) (4,2) (5,2) (6,2)

Ω = (1,3) (2,3) (3,3) (4,3) (5,3) (6,3)

(1,4) (2,4) (3,4) (4,4) (5,4) (6,4)

(1,5) (2,5) (3,5) (4,5) (5,5) (6,5)

(1,6) (2,6) (3,6) (4,6) (5,6) (6,6)

a. Para calcular una probabilidad condicional es necesario definir los eventos A y E, siendo estos,

A = evento de que en el segundo dado aparezca el número cuatro,

E = evento de que la suma de los números que aparecen sea de por lo menos siete, (que es que es el evento que está condicionando)

E = {21 elementos, los que suman siete o más}

(6,1)

(5,2) (6,2)

E = (4,3) (5,3) (6,3)

(3,4) (4,4) (5,4) (6,4)

(2,5) (3,5) (4,5) (5,5) (6,5)

(1,6) (2,6) (3,6) (4,6) (5,6) (6,6)

A = {6 elementos, los que en el segundo dado aparece el cuatro}

A = {(1,4) (2,4) (3,4) (4,4) (5,4) (6,4)}

Luego,

A∩E = {(3,4) (4,4) (5,4) (6,4)}, |A∩E|= 4 elementos

Por tanto;

p(A/E) = |A∩E|/ |E|= 4/21 = 0.19048

b. E = evento de que la suma de los números que aparecen sea de por lo menos siete

(6,1)

(5,2) (6,2)

E = (4,3) (5,3) (6,3)

(3,4) (4,4) (5,4) (6,4)

(2,5) (3,5) (4,5) (5,5) (6,5)

(1,6) (2,6) (3,6) (4,6) (5,6) (6,6)

A = evento de que ambos números sean pares

(2,2) (4,2) (6,2)

A = (2,4) (4,4) (6,4)

(2,6) (4,6) (6,6)


(6,2)

A∩E = (4,4) (6,4) |A∩E|= 6 elementos

(2,6) (4,6) (6,6)


p(A/E) = |A∩E|/ |E|

= 6/ 21

= 0.28571

c. E = evento de que la suma de los números que aparecen sea de por lo menos siete

(6,1)

(5,2) (6,2)

E = (4,3) (5,3) (6,3)

(3,4) (4,4) (5,4) (6,4)

(2,5) (3,5) (4,5) (5,5) (6,5)

(1,6) (2,6) (3,6) (4,6) (5,6) (6,6)

A = evento de que en el primer dado aparezca el número dos

(2,1)

(2,2)

A = (2,3)

(2,4)

(2,5)

(2,6)

A∩E = {(2,5)}, |A∩E|= 1 elemento

P(A/E) = |A∩E|/|E|

= 1/21

= 0.04762

Dos eventos son independientes si el resultado de uno de ellos no afecta la probabilidad de otro

Lo anterior significa que la probabilidad condicional de A dado B es igual a la probabilidad de A y viceversa:

P(A/B)=P(A) y P(B/A)=P(B)

Por ejemplo si se seleccionan con reemplazo dos plantas en un laboratorio, las dos selecciones son independientes, ya que el segundo suceso no se ve afectado por el primer resultado; si las dos plantas se seleccionan sin reemplazo, las dos selecciones son dependientes, ya que la probabilidad del segundo suceso se ve afectada por el primer resultado.

Lo anterior implicó la selección de elementos sin reemplazo y, por consiguiente, consideramos los sucesos como dependientes, sin embargo es común, tratar sucesos como independientes cuando se toman muestras pequeñas de poblaciones grandes. En estos casos, es raro que se seleccione el mismo elemento dos veces. He aquí un lineamiento común:

Si el tamaño de la muestra no es mayor que el 5% del tamaño de la población, trate las selecciones como si fueran independientes (si las selecciones se hacen sin reemplazo, de manera que sean técnicamente dependientes).

Ejemplo: Considera ahora el evento C= {suma de los puntos es 3}. Si tiras el primer dado y obtienes un 1, ¿crees que esto afecte la probabilidad del evento C?

Primero, la probabilidad de C es 2/36 = 1/18. Ahora puedes calcular la probabilidad condicional:



Como y



Por lo tanto, P(C)≠P(C/B), por lo que los eventos no son independientes

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