1. Una circunferencia tiene su centro en el punto C= (0; 2) y es tangente a la recta. Hallar la ecuación de la circunferencia, el dominio y rango y graficar




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Título1. Una circunferencia tiene su centro en el punto C= (0; 2) y es tangente a la recta. Hallar la ecuación de la circunferencia, el dominio y rango y graficar
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1.- Una circunferencia tiene su centro en el punto C= (0; 2) y es tangente a la recta . Hallar la ecuación de la circunferencia, el dominio y rango y graficar. L

Ecuación de la circunferencia:

…1


Hallando radio:



Entonces:




2.- hallar la ecuación de la circunferencia de radio 5 y cuyo centro es el punto de intersección de las rectas

Hallando punto de intersección:



Entonces:



3.- una cuerda de la circunferencia esta sobre la recta cuya ecuación es .

a) hallar la longitud de la cuerda

Reemplazamos en la ecuación de la circunferencia



Distancia entre dos puntos:




b) hallar la mediatriz de la cuerda que se obtiene en a y probar que pasa por el centro de la circunferencia.


Hallamos el punto medio de la cuerda:



Hallamos ecuación de la mediatriz:



Reemplazamos X=0 y nos da Y=0 pasa por el punto (0;0) …lqqd.


4.- Sean son vértices de un triangulo.

a) hallar la ecuación de la circunferencia cuyo centro es le vértice A y que es tangente al lado BC.


Hallamos ecuación del lado BC:



Hallamos el radio:




Entonces:




b) hallar la ecuación de la circunferencia circunscrita al triangulo.


Hallamos la distancia del centro (h; k) a los vértices del triangulo.



Desarrollamos las ecuaciones: h = 2; k = -7/8

Hallamos el radio:



Entonces:




c) hallar la ecuación de la circunferencia inscrita al triangulo.

Hallamos las ecuaciones de los lados del triangulo.



Hallamos las distancias del centro (h; k) a las rectas anteriores:



Desarrollamos las ecuaciones: h = 2; k = 1


Hallamos el radio:



Entonces:




5.- hallar la ecuación de la circunferencia cuyo centro esta sobre el eje x y que pasa por los puntos A= (1; 3); B= (4; 6)


Hallamos las distancias del centro (h; 0) a los puntos A y B:



Desarrollamos las ecuaciones: h= 7


Hallamos el radio:




Entonces:




6) Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos A = (-3, 3), B = (1, 4) y su centro esta sobre la recta 3x -2y -23 = 0


Hallando pendiente de la recta AB:

m = 4 -3 = 1

1 +3 4

Hallando PM de la Recta AB:

PM = (-3 +1; 3 +4) = (-1, 7/2)

2 2

Hallando ecuación de la mediatriz:

1 m1 = -1 => m1 = -4

4

Y -7 = -4(x +1) => 2 y -7 = -8x -8

2

8x +2y +1 = 0…….1

De: 3x -2y -23 = 0

X = 2y +23 ……………….2

3

2 en 1:

8(2y +23) +2y +1 = 0 => 16y +184 +6y +3 = 0

3

22y = -187

y = -187/22 = -8.5


X = 2y +23 => x = 2 (-8.5) +23

3 3

x = 2

centro: (2 ,-8.5)

R2 = (2 +3)2 + (-17 -3)2

2

R2 = 25 + 529

2

R = √554/4


Ecuacion de la circunferencia:

C: (x -2)2 + (y + 17/2)2 = 554/4


7) determinarlas coordenadas de centro vértice y focos, la longitud de los ejes transverso y conjugado y del lado recto, la excentricidad y las ecuaciones de las asíntotas de las siguientes hipérbolas:

a) x2 -9y2 -4x +36y – 41 = 0 c2 = 32 +12

(x -2)2 -4 -9((y -2)2 -4) -41 = 0 c = √10

(x -2)2 -9(y -2)2 = 9

(x -2)2 -(y -2)2 = 1

9 1

C = (2, 2)

V = (-1, 2) V1 = (5, 2)

F = (-1 -√10, 2) F1 = (5 +√10, 2)

LT = 2a = 6

LC = 2b= 2

e = √10

3

Asintotas:

(x -2) -3(y -2) = 0 (x-2) +3(y -2) = 0

x -2 -3y +6 = 0 x -2 +3y -6 = 0

x -3y +4 = 0 x +3y -8 = 0


b) 4 x2 -9y2 +32x +36y +64 = 0 c2 = 22 +32

4((x -4)2 -16) -9((y -2)2 -4) +64 = 0 c = √13

4(x -4)2 -9(y -2)2 = -36

9(y -2)2 -4(x -4)2 = 36

(x -2)2 -(y -2)2 = 1

4 9

C = (4, 2)

V = (4, 0) V1 = (4, 4)

F = (4, -√13) F1 = (4, 4 +√13)

LT = 2b = 6

LC = 2a= 4

e = √13

2

Asintotas:

3(y -2) -2(x -4)= 0 3(y -2) +2(x -4) = 0

3y -6 -2x +8 = 0 3y -6 +2x -8 = 0

2x -3y -2 = 0 2x +3y -14 = 0

c) x2 -4y2 -2x +1 = 0

(x -1)2 -1 -4y2 +1 = 0

(x -1)2 -4y2 = 0


De la ecuación obtenemos ecuaciones de dos rectas:


(x-1 -2y)(x -1 +2y) = 0

L1: x -2y -1 = 0

L2: x +2y -1 = 0


d) 9 x2 -4y2 +54x +16y +29 = 0 c2 = 22 +32

9((x +3)2 -9) -4((y -2)2 -4) +29 = 0 c = √13

9(x +3)2 -4(y -2)2 = 36

(x +3)2 -(y -2)2 = 1

4 9

C = (-3, 2)

V = (-5, 2) V1 = (-1, 2)

F = (-5 -√13, 2) F1 = (-1 +√13, 2)

LT = 2b = 6

LC = 2a= 4

e = √13

4


Asintotas:

3(x +3) -2(y -2) = 0 3(x +3) +2(y -2) = 0

3x +9 -2y +4 = 0 3x +9 +2y -4 = 0

3x -2y +13 = 0 3x +2y +5 = 0


e) 3 x2 -y2 +30x +78 = 0 c2 = 3 +1

3(x +5)2 -75 -y2 +78 = 0 c = √4 =2

3(x +5)2 -y2 = -3

y2 -3(x +5)2 = 3

y2 (x -5)2 = 1

3 1


C = (-5, 0)

V = (-5, √3) V1 = (-5, -√3)

F = (-5 , √3 +2) F1 = (-5,-√3 -2)

LT = 2b = 2√3

LC = 2a= 2

e = 2√3

3

Asintotas:

y -√3(x +5)= 0 y +√3(x +5) = 0

y -√3x -5√3 = 0 y +√3x +5√3 = 0

√3x –y +5√3 = 0 √3x +y +5√3 = 0


8.- Hallar la ecuación de la tangente y la normal para la hipérbola dada, en el punto de contacto indicado:


a) en

Ecuación de la tangente:

Reemplazamos en la ecuación de la hipérbola





Hallamos la ecuación de la tangente y la normal:



b) en (4; 2)






c) en (2; 1)




9.- Hallar las ecuaciones de las tangentes a la hipérbola , que son paralelas a la recta .


Ecuación de las tangentes:

m=1

…1


Reemplazando 1 en la ecuación de la hipérbola:



Reemplazando “k” en 1

Ecuaciones de las tangentes…


10.- Sean las rectas tal que y . Son extremos del lado recto de una hipérbola H. Si el centro de la hipérbola esta situada más cerca del origen del sistema y a 6 unidades del lado recto. Hallar la ecuación de la hipérbola y la ecuación de las directrices en el sistema .


= (5; 3)

= (13; -3)


(5; 3)

(13:-3)


Hallando el foco:



Hallando ecuación del eje focal:

m=



El centro:



Distancia del centro al lado recto 6….



Entonces: centro=







Extremos del lado recto en el .







Longitud del lado recto:





Ecuación de la hipérbola…




Pasamos la ecuación de la hipérbola al sistema xy:




Hallamos las directrices en el sistema xy:






11.- La hipérbola H:44x2 +216xy -19y2-800x-600y = 0 es tangente a la recta L en el punto P = (5, 10):

Tg 2Ѳ= B . = 2 1 6 =24 2Ѳ = 74

A-C 44 +19 7 Ѳ = 37

A´ = 44cos2Ѳ +216 cosѲ senѲ -19sen2Ѳ = 44.16 +216.4 .3 -19.9 = 125x´ 2

25 5 5 25

C´ = 44 sen 2Ѳ -216cos Ѳ sen Ѳ -19cos2 Ѳ = 44. 92592 -19.16 = -2500 =-100y´ 2

25 25 25 25

D´ = -800cos Ѳ -600sen Ѳ = -800.4 -600.3 = -1000y2

5 5

F´ = -600cos Ѳ +800sen Ѳ = -600.4 +800.3 = 0

5 5

Ecuación:

125x´2 -100y´-1000x´= 0

5x´2 -4y´ -40x´ = 0

(X´-4)2y2 = 1

16 20

a) Encontrar la ecuación de L:

5(x´-4)(6) -4y´(5) = 80

30x´-120y´-120 = 80

3x´-12y´-12 = 8

3x´-12y´-20 = 0

b) hallar los verices:

x´y´= (8,0)

x = x´cos Ѳ –y´sen Ѳ

x = 8.4 = 32

5 5

Y = x´sen Ѳ +y´cos Ѳ

Y = 8.3 = 24

5 5

V= (32, 24)

5 5

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