13. Expresión decimal de fracciones




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Título13. Expresión decimal de fracciones
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Números SM

III. Números en forma decimal


13. Expresión decimal de fracciones


Todo número racional puede escribirse en forma decimal periódica.

Para pasar un número racional de forma fraccionaria a forma decimal basta dividir el numerador entre el denominador.


Entero

Decimal exacto

Decimal periódico puro

Decimal periódico mixto










Dos fracciones pueden compararse conociendo su expresión decimal:

porque y


45 Escribe estas fracciones en forma decimal e indica de qué tipo es cada una:


a) = d) = g) =


b) = e) = h) =


c) = f) = i) =


46 Pasa a forma decimal las fracciones , y , y di cuál de ellas es la mayor.


47 Completa:


a) Con un decimal exacto. 1,7 < ___ < 1,8


b) Con un decimal periódico puro: 2,63 < ___ < 2,73


c) Con un decimal periódico mixto: < __ <


14. Expresión fraccionaria de decimales


Todo número decimal periódico puede escribirse en forma fraccionaria.


Si llamamos x al número decimal cuya forma fraccionaria queremos hallar, entonces:

. Decimal exacto: -31,2 


. Decimal periódico:

donde E parte entera

A anteperiodo

P periodo

9...9 tantos 9 como cifras, tiene el periodo

0...0 tantos 0 como cifras, tiene el anteperiodo


Ejemplos:


Decimal periódico puro:

9,6363...: {E = 9; P = 63} 


Decimal periódico mixto:

3,12444...: {E = 3; A = 12; P = 4} 


48 Escribe en forma de fracción irreducible los siguientes números decimales:


a) 5,4 = e) 0,483483... = i) 3,507171... =

b) 7,26 = f) 6,4242... = j) -6,5 =

c) 0,317 = g) 9,1888... = k) -17,444... =

d) 10,333...= h) 2,36999... = l) -2,8555... =


15. Operaciones combinadas con fracciones y decimales


Sugerencias: Ten en cuenta que, al operar, todos los números deben expresarse en la misma forma, y que los números decimales periódicos debes pasarlos a forma de fracción.


49 Realiza las siguientes operaciones.

a) = b) =


c) = d) =


e) = f) =

IV. Números reales


16. Clasificación de los números


Números naturales N = {1, 2, 3, ...}

Números enteros Z = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...}


Exactos

Números racionales Q Periódico puro

Periódico mixto


Racionales

Números reales R

Irracionales


50 Clasifica los siguientes números reales:


a) c) e)


b) d) f)


51 Clasifica los siguientes números reales:


a) c) e) 4,212112111...


b) 10,384384... d) -6,32444... f) 3,25468


17. Expresión aproximada de números reales


Los números con muchas cifras decimales se manejan con menos cifras para trabajar mejor con ellos. Al hacerlo estamos tomando un valor aproximado del número dado. Y, por consiguiente, arrastramos un error, llamado error de aproximación.


Error de aproximación = Verdadero valor – valor aproximado


Ejemplo: = 2,23606...


Nº de cifras decima-les de aproximación

Aproximaciones de

Error de aproxi-mación menor que:




Por defecto

Por exceso

Por redondeo




0

1

2

3

4

...

2

2,2

2,23

2,236

2,2360

...

3

2,3

2,24

2,237

2,2361

...

2

2,2

2,24

2,236

2,2361

...

1

0,1

0,01

0,001

0,0001

...



52 Escribe las aproximaciones por exceso, por defecto y por redondeo, así como el error de los siguientes números cuando se eligen 3 y 4 cifras decimales:


= 3,3166247...


Aproximación

Por defecto

Por exceso

Por redondeo

Error

3 cifras













4 cifras















53 Escribe dos valores aproximados del número con error de aproximación:


a) Menor que una centésima.


b) Menor que una milésima.


54 Si quieres tomar 55/14 con tres cifras decimales, cometiendo el menor error posible, debes tomar.


a) 3,928 b) 3,929 c) 3,930


55 Escribe algún número que tenga por aproximación a alguno de los siguientes:


a) 5,42 es aproximación de 5,418 c) 12,315


b) 3,7 es aproximación de: d) 0,1825


18. Operaciones con nos reales en forma decimal


Las operaciones con números reales se realizan siempre con los valores aproximados respectivos. Ahora bien, como todo valor aproximado es un número racional, las operaciones y jerarquía con números reales son las mismas que con números racionales.


Ejemplo: Sean = 2,23606... y = 2,645751..., si los aproximamos con cuatro cifras decimales tenemos













Por exceso

2,2361

2,6458

4,8819

5,9163

Por defecto

2,2360

2,6457

4,8817

5,9157

Error = exceso - defecto

0,0001

0,0001

0,0002

0,0006



56 Completar la tabla siguiente (con cuatro cifras decimales):













Por exceso













Por defecto













Por error















57 Si quieres conocer la superficie de una piscina rectangular de lados 43 m y m, con un error menor que una décima, ¿cuántos decimales debes tomar de ? ¿Cuál es el resultado por redondeo? (Sugerencia: aproxima con 2,6; 2,64; 2,645; ... y compara, en cada caso, el resultado de la superficie con el que daría tomando .)


58 Si quieres conocer la superficie de una pista circular de atletismo de radio 208 metros con un error menor que una décima, ¿cuántos decimales de  debes tomar? Aproxima por redondeo el valor de dicha superficie.


19. Ordenación de números reales


a < b (a menor que b)  b – a es positivo

a, b  R


* Si a y b son decimales:

1,45 < 2,68 porque 2,68 – 1,45 = 1,23 > 0

-2,68 < -1,45 porque –1,45 – (-2,68) = 1,23 > 0

4,1532... < 4,1576... comparando las cifras de igual orden de izquierda a derecha:

4 = 4, 1 = 1, 5 = 5, 3 < 7


* Si a y b no son decimales, hay que pasarlos a forma decimal:

porque = 2,625 y = 2,6457...


59 Escribe < o >, según corresponda, entre cada una de las siguientes parejas de números:


a) 0,64  d)  2,24 g)


b) e) h)


c) f) 5,36 


60 Completa con un:


a) Decimal exacto: 3,25 < ___ < 3,26


b) Periódico puro. 1,437 < ___ < 1,438


c) Periódico mixto: 0,18923 < ___ < 0,18924


d) Decimal exacto: < ___ <


e) Irracional: 5,1724 < ___ < 5,1725


f) Número fraccionario: < ___ <


61 Escribe en orden creciente: , , , , , ,


20. Representación de números en la recta


Representación geométrica Representación geométrica de raíces

de fracciones

0

1

1

2

2

3

d= 3

1

0

1

2

3

d2 = (2)2 + 12 = 2 + 1

d2 = 3 ; d = 3


62 Representa en la recta los siguientes números: , , ,


63 Dibuja en la recta real los números , , , , aproximándolos con un decimal.


64 Halla el valor de d en los siguientes casos y represéntalo en la recta real:


0

1

1

3

d

0

1

1

2

d

a) c)


0

1

1

3

d

2


0

1

2

d

2

b) d)


65 Descompón 26 en suma de dos cuadrados para representar el punto correspondiente al número en la recta real. Represéntalo.


66 Descompón 41 en suma de dos cuadrados para representar el punto correspondiente al número en la recta real. Represéntalo.


21. Intervalos y semirrectas


(2,5]

2

5

[2,5)

2

5

[2,5]

2

5

(2,5)

2

5


Intervalo abierto Intervalo cerrado Intervalo semiabierto Intervalo semiabierto

por la derecha por la izquierda

2 < x < 5 2  x  5 2  x < 5 2 < x  5

2

3

(-,2]

[3,+)

2

3

(-,2)

(3,+)


Semirrectas abiertas Semirrectas cerradas

x < 2 x > 3 x  2 x  3


67 Representa en la recta real los intervalos:


a) (-3, -2] b) [0, 4] c) [-2, 0)


d) [4, 8] e) [3, 6) f) (2, 7)


68 Representa los intervalos:


a) I = (-1, 3] b) J = [1, 5]


c) Halla el intervalo común a los intervalos anteriores y represéntalo.


69 Representa en la recta real las siguientes semirrectas (utiliza la misma recta en cada apartado):


a) (-, 2] y (6, +)


b) (-, -3) y (-3/2, +)


c) (-, 0] y [-2, +)


d) ¿Tienen algún punto común las semirrectas de los apartados anteriores? Represéntalos.


70 Indica si los números dados pertenecen o no a los intervalos y semirrectas:





(-, 1]

[2, 5]

(1, 4)

[4, +)

[-3, 1)

-2




















































4




















































22. Notación científica


El número 2 345 000 000 000 en notación científica se escribe así: 2,345·1012


Orden de magnitud


2 345 000 000 000 = 2,345 · 1012


parte decimal parte potencial


Número

Notación científica

Cifras significativas

Orden de magnitud

2 279 000 000

2,279·109

2,279

9

0,000025

2,5·10-5

2,5

-5



71 Escribe en notación científica los siguientes números e indica su orden de magnitud:


a) 29 348 000 000 b) 11 015 millones de pesetas


c) 0,00000000132 d) 3,0000000045


72 Escribe en forma decimal los siguientes números:


a) 7,21 · 108 b) 2,631 · 106


c) 8,81 · 10-7 d) 4,908 · 10-5


73 Realiza las siguientes operaciones y escribe:


a) 2,31·105 · 6,23·107 b) 5,05·10-6 · 1,22·108

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