Conversion de base 10 a cualquier base




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TítuloConversion de base 10 a cualquier base
Fecha de conversión30.12.2012
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Secuencia de dígitos



Donde MSB= Most Significant Digit

LSB=Least Significant Digit


Donde el valor del entero positivo se obtiene:


(1)


Ejemplo:

El número 4305 en el sistema numérico de base 10 es:



4000 + 300 + 0 + 5


Cuatro sistemas numéricos son de particular importancia para la computadora:

Base 2: Binaria ={0,1} B

Base 8:Octal={0,1,2,3,4,5,6,7}Q

Base 10:Diez={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}D

Base 16:Hexadeciamal={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F}H

Base Hexadecimal

Base Diez

A

10

B

11

C

12

D

13

E

14

F

15



Ejemplos: Convertir las siguientes expresiones en base 10

A)

B)

C)

D)


ENTEROS POSITIVOS FRACCIONARIOS


El desarrollo anterior es adecuado sólo para enteros positivos. Para representar valores fraccionales debe ser expandida la formula (1) para que incluya exponentes negativos.

Un número con parte fraccional está representado por el conjunto de dígitos siguiente:





El valor del entero positivo incluyendo su parte fraccional esta dado por:





Ejemplo: Convertir (110.111)2 = ( )10


Ejercicios: Convertir las siguiente bases a base 10

a) (.325)6 = ( )10

b) (144)8= ( )10

c) (111011.111)2=( )10

d) (12AF.DE)16=( )10

CONVERSION DE BASE 10 A CUALQUIER BASE

Dado X, que es un entero en base 10 y se desea obtener un número Y en base C. El número Y estará compuesto por los dígitos , entonces el número X podrá ser expresado en términos de estos dígitos tal como sigue:



Algoritmo

  1. Dividir X entre la base deseada (C)



= Q1 +

  1. Los términos entre paréntesis son múltiplos de potencias de C y de ahí que sean divisibles entre C.

  2. El número y0, es un número menor que C, por lo tanto representa el residuo de la división de X/C. Por lo tanto el primer dígito de Y es el residuo obtenido al dividir X/C.

  3. Una vez obtenido y0, el siguiente dígito es y1, que se puede obtener al dividir nuevamente Q1 por C , y así sucesivamente hasta que un cociente cero sea obtenido.

Ejemplo: Convertir (53)10=( )8

53/8 = 6 + 5/8  y0= 5

6/8 = 0 + 6/8  y1= 6

Ejercicios: Convertir a la base indicada

  1. (100)10= ( )8

  2. (53)10= ( )2

  3. (1531)10=( )6

  4. (82)9=( )7

  5. (123)7=( )3

CONVERSIÓN DE UNA FRACCIÓN DE BASE 10 A CUALQUIER BASE

Sea X una fracción representada en un sistema numérico de base 10. Para obtener la correspondiente fracción Y en un sistema numérico de base C, donde Y estará compuesto por los dígitos , donde el número X puede ser expresado en términos de estos dígitos:




Algoritmo:

  1. Multiplicar X por C


=

  1. El primer dígito obtenido es y-1

  2. El siguiente dígito puede ser obtenido de manera semejante sólo que ahora se debe multiplicar F1 por C, reteniendo la parte entera y así sucesivamente.

  3. Cuando el valor fraccional llegue a cero, entonces el proceso termina.

Ejemplo: convertir (.609375)10= ( )4


Ejercicios: Convertir

  1. (.5)10 = ( )2

  2. (.80)10=( )2

  3. (.34)10=( )3

MÉTODOS CORTOS DE CONVERSIÓN

Los números 8 y 16 son potencias de 2

a) La conversión binario-octal y octal y binario involucra 3 bits (

b) La conversión binario-hexadecimal y hexadecimal-binario involucra 4 bits

Ejemplos:

Sean las siguientes equivalencias en binario

Equivalencias

3 bits

4 bits

0

000

0000 8 1000

1

001

0001 9 1001

2

010

0010 10 1010

3

011

0011 11 1011

4

100

0100 12 1100

5

101

0101 13 1101

6

110

0110 14 1110

7

111

0111 15 1111



Convertir el número binario 0101011111001101B a octal y hexadecimal


0 101 011 111 001 101 binario

0 5 3 7 1 5 octal

0101 0111 1100 1101

5 7 C D


Forma rápida para convertir de decimal a binario



128

64

32

16

8

4

2

1



























Ejemplo: Convertir (83)10 =( )2

128

64

32

16

8

4

2

1

0

1

0

1

0

0

1

1



Operaciones con números binarios

SUMA BINARIA

Sean dos números M y N a los cuales se desea obtener su suma

Reglas:




Ejemplos:


RESTA BINARIA

Sean M y N dos números a los cuales se desea obtener su resta, es decir

Reglas




Ejemplos:










MULTIPLICACIÓN BINARIA

Sean M y N dos números a los que se quiere multiplicar tal que M*N =P

REGLAS DE MULTIPLICAR




EJEMPLOS




EJERCICIO: 10101*1011


DIVISIÓN BINARIA

Se desea dividir dos números M y N tal que

En este caso no hay reglas


Ejemplo:



Ejercicio: Dividir



Otros métodos de conversión

Conversión de decimal a binario

Método por descomposición y residuos

Algoritmo

1.- Se tiene en cuenta si el número es par o impar, colocando un 1 si es impar o 0 si es par.

2.- Se halla la mitad del número, luego se repiten estos pasos hasta que el resultante sea menor que la base.

Ejemplo: Convertir (25)10=( 11001 )2





Ejercicio: (34)10=( )2


MÉTODO POTENCIA CERCANA

1.-Se busca la potencia más cercana al número y se le resta

2.- Se repite el procedimiento hasta que el resultante sea menor que la base

3.- Cada potencia representa los bits significativos del número

Ejemplo:





Ejercicio: Resolver para (34)10= ( )2


Conversión de Hexadecimal a Decimal

Para convertir el número hexadecimal A7B8 a un número hexadecimal, inicie con el dígito hexadecimal de más a la izquierda (A), de forma continua, multiplique cada dígito hexadecimal por 16 y acumule los resultados.

Pasos:

Primer dígito: A(10)

Multiplicar por 16

Sumar el dígito siguiente,( 7)

Multiplicar por 16

Sumar el dígito siguiente, B(11)

Multiplicar por 16

Sumar el siguiente dígito, 8


Ejercicio: Convertir (3A3B)16= ( )10


OPERACIONES ARITMÉTICAS ENTRE BASES




BASE 10

BASE 4

BASE 8

0

0

0

1

1

1

2

2

2

3

3

3

4

10

4

5

11

5

6

12

6

7

13

7

8

20

10

9

21

11

10

22

12

11

23

13

12

30

14














NÚMEROS CON SIGNO

Supongamos que se tiene una computadora, cuya longitud de palabra es de 4 bits. Con 4 bits podemos obtener 16 (24) combinaciones de bits.

Si sólo manejamos números enteros, podemos representar enteros del 0 al 15; sin embargo si manejamos números negativos, algunas combinaciones deberán representar a dichos números.

Para tener un sistema balanceado, tomemos la mitad de combinaciones como números positivos y la otra mitad como números negativos, tal como se índica:

0, 1, 2,….., 7 Números positivos

-1, -2, -3, …,-7 Números negativos

Número Decimal

Asignación de bits

Número Decimal

Asignación de bits

+0

0000

-0

1000

+1

0001

-1

1001

+2

0010

-2

1010

+3

0011

-3

1011

+4

0100

-4

1100

+5

0101

-5

1101

+6

0110

-6

1110

+7

0111

-7

1111



El dígito más significativo para los números positivos es cero

El dígito más significativo para los números negativos es uno


Nota: inconveniente la existencia de 2 tipos de cero.

Solución:

Complemento a 2’s y Complemento a 1’s

Con el esquema del complemento a dos, hay una sola representación del cero

Binario

2’s

1’s

Binario

2’s

1’s

0000

0

+0

1000

-8

-7

0001

+1

+1

1001

-7

-6

0010

+2

+2

1010

-6

-5

0011

+3

+3

1011

-5

-4

0100

+4

+4

1100

-4

-3

0101

+5

+5

1101

-3

-2

0110

+6

+6

1110

-2

-1

0111

+7

+7

1111

-1

-0



FÓRMULA PARA OBTENER EL COMPLEMENTO A 2

=

X=número original n= número de dígitos b=base

FÓRMULA PARA OBTENER EL 1´S

=

X=número original n= número de dígitos b=base

Ejemplos: Hallar el 2’s de 6 (0110). Se asume que el número tiene 4 bits en longitud



104-|0110|=10000-0110=1010

Hallar el 1’s de 6


104-1-|0110|=10000-0001-0110=1001

Ejercicios: Hallar el complemento a 10’s de 235

n=3



Hallar el complemento a 9 de 235.


MÉTODO FÁCIL DE CONVERSIÓN DEL 2’S

ALGORITMO

  1. Invertir la cadena de ceros y unos (1->0 y 0->1)

  2. Al resultado obtenido en a) sumarle la unidad.

Ejemplo:

6 0110 invertir

Ejercicio: Hallar el 2’s de -6, 7 y 4

MÉTOD FÁCIL PARA HALLAR EL 1’S

ALGORITMO:

Invertir cadena de ceros y unos (1-> 0 y 0->1)


Ejemplo: Hallar el complemento a uno de 6

6 0110 invertir 1001


Ejercicio: Hallar el 1’s de 7, -6 y 4

OPERACIONES ARITMÉTICAS EN 2’S



Ejercicios (2’s):

OPERACIONES ARITMÉTICAS EN 1’S



Ejercicios (1’s):


SOBREFLUJO

En un sistema de computo cuyos registros almacenan 8 bits, el mayor número positivo es +127 (01111111B o 7FH) y el menor número negativo es de -128 (10000000B o 80H).

Cuando se suman dos números del mismo signo o se restan dos números de signo distinto, es factible exceder los límites (-128 a 127) y obtener resultados incorrectos (OVERFLOW).

Los microprocesadores suelen detectar los errores de sobre flujo, generados cuando se suman o restan números con signo, verificando el acarreo producido en las posiciones de los bits más significativos (bits 6 y 7).

Ejemplo:



En el primer ejercicio se suman dos números positivos y el resultado es un número negativo. En el segundo ejercicio sumamos dos números negativos y el resultado es un número positivo.

Nota: en ambos casos el problema es que se excedió el rango de los enteros (24), lo cual se considera como un sobre flujo (overflow).

Existirá error de sobre flujo cuando solamente en una de las dos posiciones se genere acarreo.

Ejemplo:



Se produce un sobre flujo, ya que se produce acarreo en la posición del bit 6 más no en la del bit 7.



No existirá error de sobre flujo, cuando no se generen acarreos en ningún de los dos bits más significativos, o cuando se generen en ambos

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