República Bolivariana de Venezuela Ministerio del Poder Popular para la Defensa




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República Bolivariana de Venezuela

Ministerio del Poder Popular para la Defensa

Universidad Nacional Experimental Politécnica

de la Fuerza Armada

Estadística I

Semestre 2007-II

Guía III

Semana 5

Tema I: Medidas de Tendencia Central

Elaborado por: Ing. Bethzaida Africano


MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL

Las medidas descriptivas son valores numéricos calculados a partir de la muestra y que nos resumen la información contenida en ella.


Media aritmética.

La media aritmética es el estadístico de la tendencia central más usado para representar una serie y a él nos referimos frecuentemente.

La media aritmética de una serie de N valores de una variable X1, X2, X3, ….., Xn es el cociente de dividir la suma de todos los valores que toman la variable entre el número de ellos.


Por ejemplo

Supongamos que los salarios de los profesores de una universidad son: Bs. 2.000, Bs. 2.500, Bs. 3.500, Bs. 4.500. La media aritmética de estas cuatro cantidades es:


2000 + 2500 + 3500 + 4500 12500

X = ______________________ = _______ = Bs. 3125

4 4


Si representamos los N valores de una variable por X1, X2, X3, ….., Xn la media aritmética se obtiene de la siguiente manera:


n



i = 1
X1 + X2 + X3 +…….. Xn ∑ Xi

X = ______________________ = _______

N N


Una media aritmética calculada por la expresión anterior se conoce como medida aritmética simple. No obstante, puede presentarse el caso de tener un mayor número de profesores y varios de ellos con el mismo salario.

Por ejemplo

Calcular la media aritmética tomando en cuenta el hecho de que existen en la universidad 4 profesores con salario de Bs. 2000, 4 ganan Bs. 2500, 3 tienen un salario de Bs. 3500 y 5 cuyo salario es de Bs. 4000; la media aritmética es:


4 * 2000 + 4 * 2500 + 3 * 3500 + 5 * 4000

X = _________________________________

4 + 4 + 3 + 5


8000 + 10000 + 10500 + 20000 48500

= ___________________________ = _______ = Bs. 3031, 25

16 16

S
n
i representamos los N valores de una variable por X1, X2, X3, ….., Xn y por p1, p2, p3, ….., pn sus respectivas ponderaciones o pesos, la media aritmética ponderada se obtiene de la siguiente manera:



i = 1
p1 X1 + p2 X2 + p3 X3 +…….. pn Xn ∑ pi Xi

X
n
= ____________________________ = _______

p1 + p2+ p3 + …..,+ pn


i = 1
∑ pi

Cálculo de media para datos agrupados.

Pasos

1.- Se elabora una columna que comprenda los puntos medios (Xi) de cada intervalo.

2
n
.- En otra columna se obtiene el producto de cada punto medio por su respectiva frecuencia; previamente elaborada la columna, se suman sus valores para obtener.


i = 1
fi Xi

3
n
.- Se calcula la media aritmética a través de la siguiente formula:


i = 1
∑ fi Xi

X
n
= _________

i = 1
∑ fi


Como ∑ fi = N la anterior expresión puede considerarse como:


n


i = 1
∑ fi Xi

X = _________

N


Ejemplo


Calcular la media de la siguiente distribución de frecuencias:


Clases

fi

75 - 79

2

80 - 84

4

85 - 89

6

90 - 94

10

95 - 99

14


Paso 1

Paso 2

Obtención de los pasos 1 y 2






Clases

fi

Xi

fi * Xi

75 - 79

2

77

154

80 - 84

4

82

328

85 - 89

6

87

522

90 - 94

10

92

920

95 - 99

14

97

1358




36




3282



O
n
btención de la media aritmética, Paso 3



i = 1
∑ fi Xi 3282

X = _________ = __________ = 91,17

N 36

Ejemplo

Dada la siguiente distribución de frecuencias

Clases

fi

15 -24

4

25 – 34

10

35 – 44

21

45 – 54

13

55 – 64

0

65 - 74

2

Calcule la media aritmética.


Mediana

La mediana es el valor medio de una serie ordenada de acuerdo con su magnitud. La posición del valor correspondiente a la mediana es tal que divide a la serie en dos partes iguales, con igual número de datos a un lado y a otro de ella, de tal manera que la mitad de los datos son menores o iguales a ella y la otra mitad mayores o iguales.

Ejemplo

Tenemos los siguientes datos de los ingresos diarios de 52 bedeles de un plantel.

Clases

fi

fa

30 - 39

2

2

40 -49

2

4

50 -59

7

11

60 - 69

11

22

70 79

12

34

80 - 89

15

49

90 99

2

51




51






La formula a utilizar será:





n


i = 1
∑ fi - fa – 1

____

M
2
d = Li + ___________ * Ic

Fmed


Donde:

Li : Límite inferior de la clase mediana

∑ fi

____ : Orden o posición de la mediana

2


Fa -1 = Frecuencia acumulada de la clase anterior a la clase mediana.


Fmed = Frecuencia de la clase mediana.


Ic = Amplitud del intervalo de clase de la clase mediana.


1
n
.- Se localiza la posición que divide a la serie en dos partes iguales calculando

i = 1
∑ fi 51

________ = ______ = 25,5

  1. 2


Este valor nos indica que la mediana se encuentra entre los limites 70 - 79, ya que hasta la clase anterior existen 22 casos. Por lo tanto, está quinta clase es la que se denomina clase mediana por ser la primera clase que supera las 26 observaciones.


2.- Efectuar los cálculos


Li = 69


∑ fi 51

___ = __ = 25,5

2 2

Fa- 1 = 22

f med = 12

Ic = 9

Sustituyendo en la formula nos queda


25,5 - 22

Md = 69 + _________ * 9

12


Md = 69 + (0,29) * 9


Md = 69 + 2,61


Md = 71,61


Ejemplo

Calcular la mediana de la siguiente distribución de frecuencia



Clases

fi

fa

10 - 19

10

10

20 - 29

32

42

30 - 39

40

82

40 – 49

70

152

50 - 59

112

264

60 - 69

72

336

70 - 79

48

384

80 - 89

32

416




416





1
n
.- Se localiza la posición que divide a la serie en dos partes iguales calculando

i = 1
∑ fi 416

________ = ______ = 208

  1. 2


2.- Efectuar los cálculos


Li = 49


∑ fi 416

___ = __ = 208

2 2

Fa- 1 = 152

f med = 112

Ic = 9

Sustituyendo en la formula nos queda



  1. - 152

Md = 49 + ___________ * 9

112


Md = 49 + (o,5) * 9


Md = 49 + 4,5


Md = 53,5


Moda o Modo (Mo)

Otra medida de tendencia central es el modo, también llamado moda. Este se define como aquel valor de la variable que se presenta con mayor frecuencia, es decir, es el valor más común o típico.

Ejemplo

Calcular el modo de la siguiente distribución de frecuencias



Clases

fi

10 - 19

11

20 - 29

32

30 - 39

42

40 – 49

70

50 - 59

112

60 - 69

73

70 - 79

47

80 - 89

31




418



1.- Se determina la clase modal, esta será la clase que tenga la frecuencia mayor. Para el ejemplo la clase modal es 50 - 59.


La formula a utilizar es la siguiente:




1

Mo = Li + _______ Ic

1 + ∆2


Donde

Li : Límite inferior de la clase modal


1 : Frecuencia de la clase modal menos la frecuencia de la clase anterior


2 : Frecuencia de la clase modal menos la frecuencia de la clase siguiente

Ic: Intervalo de la clase modal


Cálculos

Li = 49

1 = 112 – 70 = 42

2 = 112 – 73 = 39

Ic = 9

Sustituyendo en la formula



42

Mo = 49 + ______ 9

42 + 39


Mo = 49 + 4,15


Mo = 53,15


Ejercicios

1.- Hallar la media aritmética de las siguientes puntuaciones: 3,6,10,8,1,6,8,0,12,4,5,7,5,9,6,2,9,13,2,4


2.- Hallar la media aritmética, la mediana y el modo de la distribución de frecuencias que se presenta a continuación:



Clases

fi

fa

5 – 7

1

1

8 – 10

2

3

11 – 13

5

8

14 - 16

8

16

17 – 19

4

20

20 – 22

2

22

23 – 25

1

23




25






3.- Dada la siguiente distribución de frecuencia, calcular la media, mediana y el modo



Clases

fi

10 – 29

4

30 – 49

5

50 – 69

12

70 -89

18

90 – 109

4

110 - 130

3



4.- Dada la siguiente distribución de frecuencias, calcula la media, mediana y el modo.



Clases

fi

1,1 – 1,5

1

1,6 – 2,0

2

2,1 – 2,5

6

2,6 – 3,0

9

3,1 – 3,5

16

3,6 – 4,0

11

4,1 – 4,5

4

4,6 – 5,0

3



Referencias Bibliograficas



  • Estadistica General. Material Instituto Universitario de Tecnología ISAAC NEWTON.




  • Estadística General. Haber/Runyon. Fondo Educativo Interamericano. S.A. 1973.




  • Estadística I. Universidad Nacional Experimental Simón Rodríguez.










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