Isometrías en el plano. Aplicación a resolución de problemas de construcciones




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TítuloIsometrías en el plano. Aplicación a resolución de problemas de construcciones
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Isometrías en el plano.

Aplicación a resolución de problemas de construcciones.


Gustavo E. Bermúdez Canzani

Consejo de Formación en Educación (Profesorado Semipresencial)

URUGUAY

gbermudez@adinet.com.uy


Resumen:

Este minicurso es un acercamiento a la resolución de problemas recurriendo a las isometrías en el plano. Una isometría es una función biyectiva, del plano en el plano, que conserva las distancias (algunos ejemplos: reflexión, giro, traslación).Son conocidas las aplicaciones a construcciones elementales en las que el problema se limita a construir la imagen o correspondiente de una figura por una isometría. En esta ocasión, se trabajarán otro tipo de problemas en los que, la determinación del correspondiente de una figura en una isometría, es un medio para obtener la solución de un problema más “complejo”. Se plantearán mínimos acercamientos teóricos a definiciones y propiedades de las isometrías y se resolverán problemas. Se discutirá con los participantes la validez de la propuesta frente a la enseñanza de la geometría en el presente, considerando las diferentes variables a las que nos vemos enfrentados en nuestra labor.


Palabras clave: formación de profesores, matemática, geometría, didáctica.


Fundamentación:


La enseñanza y aprendizaje de la geometría es materia de investigaciones, de estudios, de propuestas y aproximaciones permanentes en todo el mundo. En algunos trabajos que se han considerado para elaborar este minicurso (Bermúdez, 1996; Flores & Barrera, 2002; Nole, 2001; Siñeriz, 2002; Gutiérrez & Jaime, 1995), se percibe el interés de los docentes e investigadores del área iberoamericana en generar propuestas que permitan a nuestros estudiantes aprender geometría. En general, éstas toman siempre en cuenta el modelo Van Hiele, -que se describe con sencillez y claridad en (Gutiérrez & Jaime, 1995)- y se han reportado algunos trabajos propuestos a alumnos (Bermúdez, 1996) y profesores (Flores & Barrera, 2002) en los cuales se exploran las dificultades de unos y otros para acceder a los distintos niveles de aprendizaje planteados por el matrimonio holandés, que es prácticamente el estándar mundial que se ha adoptado en las últimas décadas para el diseño de situaciones didácticas y aún curriculares de la disciplina.

En la propuesta de minicurso que se presenta en esta oportunidad, se continua con una línea de trabajo en el área de la enseñanza de la geometría que el autor desarrolla, en la búsqueda de estrategias que permitan a los estudiantes la participación activa en la construcción de su conocimiento y apropiarse verdaderamente de una poderosa herramienta de comprensión del mundo de la matemática como lo es la geometría métrica (o euclidiana).


En esta oportunidad, el trabajo se centrará en la exploración de las potencialidades de las isometrías para resolver algunos problemas de construcciones.


Un problema de construcción, en este curso, es considerado como tal cuando dadas ciertas condiciones iniciales, es posible resolverlo mediante la utilización exclusiva de regla y compás (podríamos precisar un poco más y especificar regla no graduada y compás). Obviamente, con el desarrollo tecnológico actual, debemos adaptar este concepto y aplicarlo a través de la utilización de software de Geometría Dinámica (como Geogebra, por ejemplo).

O sea que nos referimos a problemas que no se busca resolver a través de otras herramientas geométricas (como la geometría analítica, por ejemplo)


Una isometría es una función biyectiva del plano en el plano que conserva las distancias. Son muy conocidas y tratadas en los libros de texto y se las conocen como congruencias o movimientos: simetría axial (o reflexión), simetría central, rotación o giro, traslación. En esos textos, tanto en los destinados a alumnos de escuelas de enseñanza primaria y secundaria como en los de formación de profesores, el acercamiento que se percibe es el de una definición y enunciado de sus propiedades y luego se limitan a “mostrar” como se obtiene el correspondiente de una determinada figura en esa isometría. La mayoría de los ejercicios y/o problemas que se proponen se limitan a estos aspectos.


Sin embargo, en general se desestima o no se considera un aspecto muy importante y muy formativo de las isometrías que es el de su aplicación a construcciones especiales, bajo ciertas propiedades. Y este autor piensa que trabajar con este aspecto de las isometrías, puede ser un buen medio para permitir el acceso a niveles superiores de Van Hiele a nuestros estudiantes y en especial, permite experimentar situaciones de fundamentación, de argumentación y validación… O sea, una buena forma de experimentar con la demostración.


En este curso, intentaremos en especial acercamientos que nos permitan percibir el valor de la demostración en geometría (y, por extensión, a la matemática): un tema que ha sido analizado y estudiado ampliamente, pero que sigue planteando dificultades a alumnos, y resulta árido a los docentes.


En los últimos años, además, la propuesta de hacer demostraciones en la clase (aún en bachillerato) ha sido puesta en cuestión, en parte debido a algunas discusiones que se han generado en torno al papel de la demostración en el currículum, especialmente en los Estados Unidos de Norteamérica en los últimos 30 años.


Es especialmente ilustrativo, el artículo de Gila Hanna (1996), titulado “The ongoing value of proof", en ocasión del congreso PME 201. Buscando causas de esta situación, sostiene Hanna:

en la investigación misma del uso de las demostraciones asistidas por la computadora, la creciente consideración en la cual se considera la experimentación en matemáticas y la invención de nuevos tipos de demostración que se separan de los criterios tradicionales, han llevado a plantear la hipótesis que los matemáticos aceptarán tales formas de validación en lugar de las demostraciones.” (Traducción libre del autor)

Todos vemos día a día propuestas, que más que demostraciones, consisten en verificaciones o experimentaciones, muchas veces visualizaciones mediante herramientas informáticas, pero que frecuentemente dejan de lado la rigurosa demostración. La creciente utilización de, por ejemplo, software para geometría dinámica, ha provocado una gran difusión de “demostraciones” que se reducen al registro de elementos visuales, de experimentaciones, pero que dejan totalmente relegada la misma justificación de tales situaciones o resultados o el desarrollo de una argumentación propiamente matemática. No es que este autor descarte estas formas de aproximación a la demostración, sin embargo considera que son una forma de demostración.

Sin embargo, sostenemos que la demostración, la posibilidad de aprender a demostrar, de “experimentar” la experiencia de una demostración, es parte imprescindible de la formación básica matemática de cualquier individuo.


Compartimos la preocupación de Gila Hanna, quien afirma en el mismo artículo:


..Muchos de los que se ocupan de la didáctica de las matemáticas han llamado en cuestión el estatuto de la demostración llevando adelante la afirmación ,( .....) de que la demostración es un elemento clave para la imagen autoritaria de las matemáticas....

De hecho es verdad lo opuesto. Una demostración es un razonamiento transparente, en el cual todas las afirmaciones usadas y todas las reglas de razonamiento son claramente expuestas y abiertas a las críticas. La misma naturaleza de la demostración impone que la validez de las conclusiones deriva de la demostración misma, no de una autoridad externa.. La demostración lleva a los estudiantes el mensaje de que pueden razonar por su propia cabeza, que no tienen necesidad de remitirse a una autoridad. Por lo tanto el uso de la demostración en la práctica didáctica es realmente anti-autoritario


Se considerarán problemas de construcciones de ciertas figuras, a partir de las propiedades de las isometrías. Y, los aspectos argumentativos, que permitan desarrollar actividades de demostración estarán presentes. Así, la utilización de las isometrías para resolver estos problemas, permite trabajar con dos aspectos en forma casi simultánea: el acercamiento a una visión diferente de las isometrías y sus aplicaciones y, entonces, experimentar el valor de la argumentación, de la validación, de la demostración.


Lógicamente, dadas las características de un minicurso, sólo podrán abordarse completamente algunos de los aspectos considerados.


Bibliografía:

Alsina C, Fortuny, A & Pérez R. (1997) ¿Por qué geometría? Propuestas Didácticas para la ESO. Colección Educación Matemática en Secundaria, Editorial Síntesis, España.


Belcredi L., Zambra M. & Rodríguez M. (1997) Geometría. Un curso de Geometría Métrica para el segundo ciclo. Colección Mosaicos. Ediciones de la Plaza, Montevideo, Uruguay.


Bermúdez, G. (1996). Taller: Geometría para alumnos de 15 años En Cruz, Torres, Rodríguez y Planchart (Eds.) Memorias de la Décima Reunión Centroamericana y del Caribe sobre Formación de Profesores e Investigación en Matemática Educativa (pp 472- 480). Puerto Rico: Universidad de Puerto Rico


Coxeter, H. S. M. (1971) Fundamentos de geometría, Centro Regional de Ayuda Técnica, Agencia para el Desarrollo Internacional (AID), México / Buenos Aires.


Coxeter, H. & Greitzer, S. (1993) Retorno a la geometría, Colección La tortuga de Aquiles, DLS-Euler Editores, Madrid, España.


Flores, H y Barrera, S. (2002). La geometría del círculo: Un camino hacia la demostración En C. Crespo (Ed) Acta Latinoamericana de Matemática Educativa (Volumen 15, Tomo 1, pp 263-365). México, Iberoamérica-CLAME.


Gutierrez, A. y Jaime, A. (1995). ¿Por qué los estudiantes no comprenden geometría? En Geometría y algunos aspectos generales de la educación matemática (pp 23-43) México: Una empresa docente-Iberoamérica


Gutierrez, A. & Jaime, A. (1996) ¿El grupo de las isometrías del plano? Colección Educación Matemática en Secundaria, Editorial Síntesis, España.


Hanna, Gila (1996) “The ongoing value of proof", [en red] (Julio 2004) Disponible en http://www.oise.utoronto.ca/ghanna/pme96pfr.html.


Nole, J. (2001). Evaluación del pensamiento lógico formal en estudiantes de un curso de geometría métrica. En G. Beitía (Ed.) Acta Latinoamericana de Matemática Educativa.(Volumen 14, pp 560-564) México: Iberoamérica-CLAME.


Puig Adam, P. (1972). Curso de geometría métrica (Tomos I y II) (10ª edición) Madrid. España, Biblioteca Matemática


Siñeriz, L. (2002). Los problemas de regla y compás: una mirada heurística En C. Crespo (Ed.)Acta Latinoamericana de Matemática Educativa (Volumen 15, Tomo 2, pp 932-937).México Iberoamérica-CLAME


ANEXO:




Desarrollo del minicurso:


  1. Definición de Isometría. Ejemplos.



  1. Isometrías directas e indirectas

  • Simetría axial (Reflexión). Definición y propiedades

  • Simetría central. Definición y propiedades

  • Rotación o Giro. Definición y propiedades

  • Traslación. Definición y propiedades



  1. Problemas:


1.- (ABC) cualquiera. Construir un segmento MN que tenga por mediatriz a la recta BC, que M pertenezca a la recta AB y que N pertenezca a la recta AC.


2.- Se da una circunferencia (C ) y dos rectas a y b.

Construir un cuadrado (MNPQ) que tenga la diagonal MP incluida en la recta a, el vértice N perteneciente a la recta b y el vértice D perteneciente a (C ).


3.- Sean C y C1 dos circunferencias secantes en A y B.

Trazar por A una recta secante que no pase por B y que determine en ambas circunferencias cuerdas iguales.


4.- Sean r y s dos rectas secantes en A y M un punto exterior a ellas y que no pertenece a la bisectriz del ángulo que forman r y s.

Construir un triángulo ABC de mediana AM, con B Î r y C Î s.


5.- Se dan dos rectas secantes a y b; y un punto P exterior a ellas.

Construir un triángulo (PMN) equilátero tal que M a y N b.


6.- Considere un cuadrado ABCD.

Construir un triángulo equilátero DEF, de modo que E Î AB y F Î BC.


7.-Se dan dos rectas secantes a y b; y dos puntos A y B exteriores a ellas.

Construir un paralelogramo ABCD tal que D r y C s.


8.-Construir un trapecio ABCD, (AB // CD), conociendo las medidas de sus lados


9.- Dadas tres rectas coplanares a, b y c, trazar un segmento de modo que uno de sus extremos pertenezca a la recta b, otro a la recta c y que a sea su mediatriz.


10.- a y b son dos rectas paralelas y P un punto interior a la faja que ellas determinan. P dista de b el doble de lo que dista de a.

Construir un cuadrado con vértice P de modo que, de los dos vértices consecutivos con P, uno pertenezca a la recta a y el otro a la recta b.


11.- Se dan dos rectas r y s y dos puntos A y B. Construir un paralelogramo ABCD que tenga los vértices C y D pertenecientes a r y s respectivamente.


geogebra


12.- Construir un paralelogramo de centro O y dos de cuyos lados estén incluidos en r y s.


13.- Se considera una circunferencia y dos rectas a y b. Construir un cuadrado que tenga una diagonal incluida en a y los otros dos vértices, uno perteneciente a la circunferencia y otro a la recta b.


14.- Se consideran dos circunferencias C y C’ y una recta r que no corta a ninguna de las dos circunferencias y tal que deja a sus centros en diferentes semiplanos, construir un cuadrado que tenga una diagonal incluida en r y los otros vértices en las circunferencias.


15.- Construir un cuadrilátero ABCD conociendo las medidas de sus cuatro lados y el segmento MN que une los puntos medios de los lados AB y CD.


16.- Dadas dos rectas a y b paralelas y un punto A. Trazar por A una recta que determine entre las dos paralelas un segmento de longitud d conocida.


17.- Construir un triángulo ABC conociendo las medidas de los lados a, b y la diferencia de los ángulos Ay BA – ÐB = a ).


18.- Dadas tres rectas a, b y c paralelas, construir un triángulo equilátero ABC, con un vértice en cada recta.


19.- Inscribir en un paralelogramo ABCD un rectángulo cuyas diagonales forman un ángulo dado.



1 Versión original (en inglés) disponible en http://www.oise.utoronto.ca/ghanna/pme96pfr.html

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